Dimensional formulae and what they are used for
মাত্রা সমীকরণ ও তার ব্যবহার
যেকোনো ভৌত রাশিকে কয়েকটি মৌলিক রাশির ঘাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় — সাধারণত ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়, যাদের চিহ্ন M, L ও T। এই প্রকাশটাই সেই রাশির মাত্রা সমীকরণ। বের করার নিয়ম সরল: রাশিটির সংজ্ঞা বা সূত্র লিখে প্রতিটি অংশের মাত্রা বসিয়ে দিলেই হয়। ভরবেগ মানে ভর গুণ বেগ, আর বেগের মাত্রা দৈর্ঘ্য ভাগ সময়, তাই ভরবেগের মাত্রা দাঁড়ায় MLT⁻¹। মাত্রা সমীকরণের সবচেয়ে কাজের ব্যবহার হলো সমীকরণ যাচাই — কোনো সমীকরণ সঠিক হতে হলে তার দুই পাশের মাত্রা অবশ্যই এক হতে হবে, আর দুই পাশ না মিললে সমীকরণটি নিশ্চিতভাবে ভুল।
মৌলিক মাত্রা: ভর M, দৈর্ঘ্য L, সময় T (সঙ্গে তড়িৎ প্রবাহ A, তাপমাত্রা K প্রভৃতি)
বেগ LT⁻¹; ত্বরণ LT⁻²; বল MLT⁻²; ভরবেগ MLT⁻¹
কাজ ও শক্তি ML²T⁻²; ক্ষমতা ML²T⁻³; চাপ ML⁻¹T⁻²
মাত্রা সমতার নীতি: সঠিক সমীকরণের দুই পাশের মাত্রা অভিন্ন
মাত্রাবিহীন রাশি: বিকৃতি, আপেক্ষিক ঘনত্ব, কোণ, প্রতিসরাঙ্ক, মোল ভগ্নাংশ
সীমাবদ্ধতা: মাত্রা সমীকরণ ধ্রুবক সংখ্যা ধরতে পারে না, তাই সমীকরণ সঠিক কি না তা নিশ্চিত করে না — কেবল ভুল হলে ধরিয়ে দেয়
পরীক্ষায় যেভাবে আসে
রাশিটির সূত্র লিখে মাত্রা বসাও — মুখস্থ করার দরকার নেই, প্রতিবার গড়ে নেওয়া যায়।
এখানে ভুল হয় (৩)
- ·মাত্রা ও একককে সমার্থক ধরা — একক পদ্ধতিভেদে বদলায়, মাত্রা বদলায় না
- ·মাত্রাবিহীন রাশিকে মাত্রাযুক্ত ধরা — বিকৃতি ও কোণের কোনো মাত্রা নেই
- ·মাত্রা মিলে গেলেই সমীকরণ সঠিক ধরা — ধ্রুবক সংখ্যা মাত্রায় ধরা পড়ে না
Percentage error and how errors propagate
শতকরা ত্রুটি ও ত্রুটির বিস্তার
কোনো পরিমাপে প্রকৃত মান থেকে যত সরে যাওয়া হয় তাকে প্রকৃত মান দিয়ে ভাগ করে শতকরায় প্রকাশ করলেই শতকরা ত্রুটি পাওয়া যায়। আসল কাজটা শুরু হয় যখন মাপা রাশিটি সূত্রে বসিয়ে অন্য কিছু বের করতে হয় — তখন ত্রুটিও সঙ্গে যায় এবং ঘাত অনুযায়ী বেড়ে যায়। গোলকের আয়তন ব্যাসার্ধের ঘনের সমানুপাতিক, তাই ব্যাসার্ধে এক শতাংশ ত্রুটি থাকলে আয়তনে তিন শতাংশ ত্রুটি এসে যায়। নিয়মটি সহজ: গুণ বা ভাগে শতকরা ত্রুটিগুলো যোগ হয়, আর কোনো রাশি n ঘাতে থাকলে তার ত্রুটি n গুণ হয়ে যোগ হয়।
শতকরা ত্রুটি = (|পরিমাপকৃত − প্রকৃত| ÷ প্রকৃত) × ১০০
গুণ বা ভাগে শতকরা ত্রুটি যোগ হয়
n ঘাতে থাকা রাশির ত্রুটি n গুণ হয়ে যোগ হয়
গোলকের আয়তনে ব্যাসার্ধের ত্রুটি তিন গুণ হয়ে আসে
যোগ বা বিয়োগে পরম ত্রুটি যোগ হয়, শতকরা নয়
যন্ত্রের ক্ষুদ্রতম মাপ (least count) পরিমাপের নির্ভুলতার সীমা ঠিক করে
পরীক্ষায় যেভাবে আসে
সূত্রে রাশিটি কত ঘাতে আছে দেখো — সেই ঘাতই ত্রুটির গুণক।
এখানে ভুল হয় (৩)
- ·ঘাতের গুণক বাদ দিয়ে ত্রুটি সরাসরি বসানো — আয়তনে ১% বলে ফেলা
- ·যোগ-বিয়োগেও শতকরা ত্রুটি যোগ করা — সেখানে পরম ত্রুটি যোগ হয়
- ·ত্রুটিকে প্রকৃত মানের বদলে পরিমাপকৃত মান দিয়ে ভাগ করা
Measuring instruments, least count and types of error
পরিমাপ যন্ত্র, ক্ষুদ্রতম মাপ ও ত্রুটির শ্রেণি
একটি যন্ত্র কত সূক্ষ্মভাবে মাপতে পারে তা ঠিক করে তার ক্ষুদ্রতম মাপ — ভার্নিয়ার স্কেলে সেটি প্রধান স্কেলের এক ঘর আর ভার্নিয়ার স্কেলের এক ঘরের পার্থক্য। ত্রুটিকে ভাগ করা হয় কয়েক ভাগে। যান্ত্রিক ত্রুটি আসে যন্ত্রের নিজের গঠন থেকে, যেমন শূন্য ত্রুটি বা ক্ষয়ে যাওয়া স্ক্রু। ব্যক্তিগত ত্রুটি আসে পর্যবেক্ষকের অভ্যাস থেকে, যেমন লম্বন ত্রুটি। আর দৈব ত্রুটি অনিয়মিত, তাই বারবার মেপে গড় নিলে তা কমে যায় — কিন্তু ব্যবস্থাগত ত্রুটি গড় নিলেও কমে না, সেটাই দুটোর মূল পার্থক্য।
ভার্নিয়ার ক্ষুদ্রতম মাপ = প্রধান স্কেলের ১ ঘর − ভার্নিয়ার স্কেলের ১ ঘর
প্রচলিত ভার্নিয়ার ক্যালিপারের ক্ষুদ্রতম মাপ ০.১ মিমি (০.০১ সেমি)
স্ক্রু গজের ক্ষুদ্রতম মাপ সাধারণত ০.০১ মিমি
যান্ত্রিক ত্রুটি: শূন্য ত্রুটি, স্ক্রুর ব্যাক-ল্যাশ, স্কেলের ক্ষয়
ব্যক্তিগত ত্রুটি: লম্বন (parallax) ত্রুটি, অনুমানে পক্ষপাত
দৈব ত্রুটি বারবার মেপে গড় নিলে কমে; ব্যবস্থাগত ত্রুটি কমে না
পরীক্ষায় যেভাবে আসে
'কোনটি যান্ত্রিক ত্রুটি নয়' — লম্বন ত্রুটি খোঁজো, সেটি পর্যবেক্ষকের, যন্ত্রের নয়।
এখানে ভুল হয় (৩)
- ·লম্বন ত্রুটিকে যান্ত্রিক ত্রুটি ধরা — এটি ব্যক্তিগত ত্রুটি
- ·দৈব ও ব্যবস্থাগত ত্রুটি গুলিয়ে ফেলা — গড় নিলে কেবল দৈবটি কমে
- ·ক্ষুদ্রতম মাপকে যন্ত্রের সর্বোচ্চ পরিমাপ সীমা ভাবা
SI base units, derived units and correct symbols
এস.আই. একক ও সংকেত
এস.আই. পদ্ধতিতে সাতটি মৌলিক একক আছে এবং বাকি সব একক এদের থেকেই তৈরি। প্রশ্নে সাধারণত জিজ্ঞাসা করা হয় কোনটি এস.আই. একক নয়, আর ফাঁদগুলো চেনা — লিটার, ডিগ্রি সেলসিয়াস, ক্যালরি, অশ্ব ক্ষমতা কোনোটিই এস.আই. একক নয়, যদিও সবই প্রচলিত। আয়তনের এস.আই. একক ঘনমিটার, লিটার নয়; তাপমাত্রার কেলভিন, সেলসিয়াস নয়। সংকেত লেখার নিয়মও পরীক্ষায় আসে — ব্যক্তির নামে রাখা এককের সংকেত বড় হাতের অক্ষরে শুরু হয় কিন্তু পুরো নাম লিখলে ছোট হাতের, আর সংকেতের শেষে কখনও দাঁড়ি বসে না।
সাতটি মৌলিক একক: মিটার, কিলোগ্রাম, সেকেন্ড, অ্যাম্পিয়ার, কেলভিন, মোল, ক্যান্ডেলা
এস.আই. নয়: লিটার, ডিগ্রি সেলসিয়াস, ক্যালরি, অশ্ব ক্ষমতা, আলোকবর্ষ, ডাইন, আর্গ
চাপের এস.আই. একক প্যাসকেল (Pa) = N·m⁻²
ব্যক্তিনামের একক: সংকেত বড় হাতের (N, Pa, W), পুরো নাম ছোট হাতের (newton, pascal)
সংকেতের পরে দাঁড়ি বসে না এবং বহুবচনে 's' যোগ হয় না
আলোকবর্ষ সময়ের নয়, দূরত্বের একক
পরীক্ষায় যেভাবে আসে
আলোকবর্ষ দূরত্বের একক, সময়ের নয় — 'বর্ষ' শব্দটাই এই প্রশ্নের ফাঁদ।
এখানে ভুল হয় (৩)
- ·লিটারকে এস.আই. একক ধরা — আয়তনের এস.আই. একক ঘনমিটার
- ·আলোকবর্ষকে সময়ের একক ধরা
- ·ডিগ্রি সেলসিয়াসকে তাপমাত্রার এস.আই. একক ধরা — সেটি কেলভিন
Converting between common non-SI and SI units
প্রচলিত একক রূপান্তর
এই ভাগের প্রশ্নগুলো হিসাবের, বোঝার নয় — কয়েকটি রূপান্তর ধ্রুবক জানা থাকলেই হয়ে যায়। আলোকবর্ষ হলো আলো এক বছরে যত দূর যায়, তাই সেটি বের করতে আলোর বেগকে এক বছরের সেকেন্ড সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হয়। কিউসেক মানে প্রতি সেকেন্ডে এক ঘনফুট, তাই লিটারে যেতে ঘনফুটকে লিটারে বদলাতে হয়। অশ্ব ক্ষমতা থেকে ওয়াটে যেতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা মনে রাখতে হয়। এই সংখ্যাগুলো মুখস্থ ছাড়া উপায় নেই, কিন্তু প্রতিটির পিছনের সংজ্ঞাটি জানা থাকলে ভুল হওয়ার সম্ভাবনা অনেক কমে।
১ আলোকবর্ষ ≈ 9.46 × 10¹⁵ মিটার
১ অশ্ব ক্ষমতা ≈ ৭৪৬ ওয়াট
১ কিউসেক = প্রতি সেকেন্ডে ১ ঘনফুট ≈ ২৮.৩ লিটার প্রতি সেকেন্ড
১ মাইল ≈ ১৬০৯ মিটার; ১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার; পার্থক্য প্রায় ৬০৯ মিটার
১ ক্যালরি ≈ ৪.২ জুল; ১ kWh = 3.6 × 10⁶ জুল
১ ডাইন = 10⁻⁵ নিউটন; ১ আর্গ = 10⁻⁷ জুল
পরীক্ষায় যেভাবে আসে
আলোকবর্ষ বের করতে আলোর বেগ গুণ এক বছরের সেকেন্ড — সূত্রটি মনে থাকলে সংখ্যা ভুলে গেলেও পুনর্গঠন করা যায়।
এখানে ভুল হয় (৩)
- ·আলোকবর্ষের ঘাত ভুল করা — 10¹⁵ নয় 10¹² বা 10¹⁸ বেছে ফেলা
- ·কিউসেককে আয়তনের একক ধরা — এটি প্রবাহ হার, প্রতি সেকেন্ডে আয়তন
- ·মাইল ও কিলোমিটারের পার্থক্যকে ৪০০ মিটারের কম ধরা