ভেক্টর

দুটি ভেক্টর যোগ করতে হলে সংখ্যার মতো সরাসরি যোগ করা যায় না, কারণ দিক হিসাবে আসে। সমকোণে থাকা দুটি ভেক্টরের লব্ধি পাওয়া যায় পিথাগোরাসের সূত্রে — এই কারণেই পূর্বে বারো মিটার ও উত্তরে পাঁচ মিটার গেলে সরণ হয় তেরো মিটার, সতেরো নয়, যদিও মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব সতেরো। ভেক্টর যোগ বিনিময়যোগ্য, অর্থাৎ ক্রম বদলালেও লব্ধি একই থাকে। আপেক্ষিক বেগ একই ধারণার প্রয়োগ — একটির সাপেক্ষে অন্যটির বেগ পেতে দুটি বেগ ভেক্টরের বিয়োগ করতে হয়। সমকোণে দুই ভেক্টরের লব্ধি R = √(A² + B²) সাধারণ ক্ষেত্রে R = √(A² + B² + 2AB·cos θ) ভেক্টর যোগ বিনিময়যোগ্য: A + B = B + A লব্ধির সর্বোচ্চ মান (A + B), θ = 0°; সর্বনিম্ন |A − B|, θ = 180° সরণ ও অতিক্রান্ত দূরত্ব আলাদা — বাঁক নিলে দূরত্ব সরণের চেয়ে বড় আপেক্ষিক বেগ: B-এর সাপেক্ষে A-এর বেগ = v_A − v_B (ভেক্টর বিয়োগ)

ভেক্টর দুইভাবে গুণ করা যায় এবং ফলাফলের চরিত্র সম্পূর্ণ আলাদা। স্কেলার গুণনে কোসাইন ব্যবহার হয় এবং ফল একটি সংখ্যা — কাজ এভাবেই বেরোয়, বল ও সরণের স্কেলার গুণন হিসেবে। ভেক্টর গুণনে সাইন ব্যবহার হয় এবং ফল আরেকটি ভেক্টর, যার দিক দুটি ভেক্টরের সমতলের লম্ব — টর্ক ও কৌণিক ভরবেগ এভাবে আসে। কোণ শূন্য হলে স্কেলার গুণন সর্বোচ্চ কিন্তু ভেক্টর গুণন শূন্য; সমকোণে ঠিক উল্টো। আর একটি জরুরি পার্থক্য: স্কেলার গুণন বিনিময়যোগ্য, কিন্তু ভেক্টর গুণন নয় — ক্রম বদলালে দিক উল্টে যায়। স্কেলার গুণন A·B = AB cos θ; ফল স্কেলার ভেক্টর গুণন A × B = AB sin θ n̂; ফল ভেক্টর, দিক সমতলের লম্ব θ = 0° হলে স্কেলার গুণন সর্বোচ্চ, ভেক্টর গুণন শূন্য θ = 90° হলে স্কেলার গুণন শূন্য, ভেক্টর গুণন সর্বোচ্চ স্কেলার গুণন বিনিময়যোগ্য; ভেক্টর গুণন নয়: A × B = −(B × A) ৫ ও ৬ একক দুটি ভেক্টর ৩০° কোণে থাকলে ভেক্টর গুণনের মান = 5 × 6 × sin 30° = 15

স্কেলার রাশি সম্পূর্ণভাবে প্রকাশ পায় কেবল মান দিয়ে, কিন্তু ভেক্টর রাশি প্রকাশ করতে মানের সঙ্গে দিকও লাগে। পরীক্ষায় সবচেয়ে বেশি আসে জোড়া বেঁধে থাকা রাশিগুলো, যেখানে একটি স্কেলার আর অন্যটি ভেক্টর — দূরত্ব স্কেলার কিন্তু সরণ ভেক্টর, দ্রুতি স্কেলার কিন্তু বেগ ভেক্টর, কাজ ও শক্তি স্কেলার কিন্তু বল ভেক্টর। একটি সূক্ষ্ম ব্যাপার আছে: তড়িৎ প্রবাহের মান ও দিক দুটোই আছে, তবু এটি স্কেলার, কারণ এটি ভেক্টর যোগের নিয়ম মানে না। তাই কেবল দিক থাকা যথেষ্ট নয়, ভেক্টর যোগের নিয়ম মানাও শর্ত। স্কেলার: কেবল মান — দূরত্ব, দ্রুতি, ভর, কাজ, শক্তি, তাপমাত্রা, আয়তন ভেক্টর: মান ও দিক — সরণ, বেগ, ত্বরণ, বল, ভরবেগ, প্রাবল্য ভেক্টর হওয়ার শর্ত: দিক থাকা এবং ভেক্টর যোগের নিয়ম মানা তড়িৎ প্রবাহের দিক থাকলেও এটি স্কেলার — ভেক্টর যোগ মানে না ভেক্টরের প্রকার: একক, শূন্য, সমান, বিপরীত, সদৃশ, অবস্থান ভেক্টর শূন্য নয় এমন ভেক্টরকে তার নিজের মান দিয়ে ভাগ করলে একক ভেক্টর পাওয়া যায়